数学基础知识

• 数学基础知识，稍微做一个整理

高等数学

1.导数的定义

导数和微分的概念

$f’({{x}_{0}})=\underset{\Delta x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{f({{x}_{0}}+\Delta x)-f({{x}_{0}})}{\Delta x}$ （1）

或者：

$f’({{x}_{0}})=\underset{x\to {{x}_{0}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{f(x)-f({{x}_{0}})}{x-{{x}_{0}}}$ （2）

2.左右导数导数的几何意义和物理意义

函数$f(x)$在$x_0$处的左、右导数分别定义为：

左导数：${{f'}_{-}}({{x}_{0}})=\underset{\Delta x\to {{0}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{f({{x}_{0}}+\Delta x)-f({{x}_{0}})}{\Delta x}=\underset{x\to x_{0}^{-}}{\mathop{\lim }}\,\frac{f(x)-f({{x}_{0}})}{x-{{x}_{0}}},(x={{x}_{0}}+\Delta x)$

右导数：${{f'}_{+}}({{x}_{0}})=\underset{\Delta x\to {{0}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{f({{x}_{0}}+\Delta x)-f({{x}_{0}})}{\Delta x}=\underset{x\to x_{0}^{+}}{\mathop{\lim }}\,\frac{f(x)-f({{x}_{0}})}{x-{{x}_{0}}}$

3.函数的可导性与连续性之间的关系

Th1: 函数$f(x)$在$x_0$处可微$\Leftrightarrow f(x)$在$x_0$处可导

Th2: 若函数在点$x_0$处可导，则$y=f(x)$在点$x_0$处连续，反之则不成立(即函数连续不一定可导)

Th3: ${f}’({{x}_{0}})$存在$\Leftrightarrow {{f'}_{-}}({{x}_{0}})={{f'}_{+}}({{x}_{0}})$

4.平面曲线的切线和法线

切线方程 : $y-{{y}_{0}}=f’({{x}_{0}})(x-{{x}_{0}})$
法线方程：$y-{{y}_{0}}=-\frac{1}{f’({{x}_{0}})}(x-{{x}_{0}}),f’({{x}_{0}})\ne 0$

5.四则运算法则

设函数$ u=u(x)，v=v(x) $在点$ x $可导则
(1) $ (u \pm v)’={u}’\pm {v’} $，$ d(u\pm v)=du\pm dv $
(2) $ (uv)’=uv’+vu’ $，$ d(uv)=udv+vdu $
(3) $ {(\frac{u}{v})}’=\frac{v{u}’-u{v}’}{{v^2}}(v\ne 0) $，$ d(\frac{u}{v})=\frac{vdu-udv}{{v}^{2}} $

6.基本导数与微分表

(1) $y=c$（常数）， ${y}’=0$，， $dy=0$

(2) $y={{x}^{\alpha }}$($\alpha $为实数)， ${y}’=\alpha {{x}^{\alpha -1}}$， $dy=\alpha {{x}^{\alpha -1}}dx$

(3) $y={{a}^{x}}$， ${y}’={{a}^{x}}\ln a$， $dy={{a}^{x}}\ln adx$

特例: ${({e}^{x})’}={{e}^{x}}$， $ d({e}^{x})={{e}^{x}}dx $

(4) $y={{\log }_{a}}x$， ${y}’=\frac{1}{x\ln a}$，$dy=\frac{1}{x\ln a}dx$

特例:$y=\ln x$， $(\ln x{)}’=\frac{1}{x}$， $d(\ln x)=\frac{1}{x}dx$

(5) $y=\sin x$

${y}’=\cos x$， $d(\sin x)=\cos xdx$

(6) $y=\cos x$

${y}’=-\sin x$， $d(\cos x)=-\sin xdx$

(7) $y=\tan x$

${y}’=\frac{1}{{{\cos }^{2}}x}={{\sec }^{2}}x$， $d(\tan x)={{\sec }^{2}}xdx$

(8) $y=\cot x$ ${y}’=-\frac{1}{{{\sin }^{2}}x}=-{{\csc }^{2}}x$， $d(\cot x)=-{{\csc }^{2}}xdx$

(9) $y=\sec x$， ${y}’=\sec x\tan x$

$d(\sec x)=\sec x\tan xdx$

(10) $y=\csc x$， ${y}’=-\csc x\cot x$

$d(\csc x)=-\csc x\cot xdx$

(11) $y=\arcsin x$

${y}’=\frac{1}{\sqrt{1-{{x}^{2}}}}$

$d(\arcsin x)=\frac{1}{\sqrt{1-{{x}^{2}}}}dx$

(12) $y=\arccos x$

${y}’=-\frac{1}{\sqrt{1-{{x}^{2}}}}$ $d(\arccos x)=-\frac{1}{\sqrt{1-{{x}^{2}}}}dx$

(13) $y=\arctan x$

${y}’=\frac{1}{1+{{x}^{2}}}$ $d(\arctan x)=\frac{1}{1+{{x}^{2}}}dx$

(14) $y=\operatorname{arc}\cot x$

${y}’=-\frac{1}{1+{{x}^{2}}}$

$d(\operatorname{arc}\cot x)=-\frac{1}{1+{{x}^{2}}}dx$

(15) $y=shx$

${y}’=chx$ $d(shx)=chxdx$

(16) $y=chx$

${y}’=shx$ $d(chx)=shxdx$

7.复合函数，反函数，隐函数以及参数方程所确定的函数的微分

(1) 反函数的运算法则: 设$y=f(x)$在点$x$的某邻域内单调连续，在点$x$处可导且${f}’(x)\ne 0$，则其反函数在点$x$所对应的$y$处可导，并且有$\frac{dy}{dx}=\frac{1}{\frac{dx}{dy}}$

(2) 复合函数的运算法则：若$\mu =\varphi (x)$在点$x$可导，而$y=f(\mu )$在对应点$\mu $($\mu =\varphi (x)$)可导，则复合函数$y=f(\varphi (x))$在点$x$可导，且${y’}={f’}(\mu )\cdot {\varphi }’(x)$

(3) 隐函数导数$\frac{dy}{dx}$的求法一般有三种方法：

• 1)方程两边对$x$求导，要记住$y$是$x$的函数，则$y$的函数是$x$的复合函数。例如$\frac{1}{y}$，${{y}^{2}}$，$ln y$，${{{e}}^{y}}$等均是$x$的复合函数，对$x$求导应按复合函数连锁法则做
• 2)公式法：由$F(x,y)=0$知 $\frac{dy}{dx}=-\frac{{F'_{x}}(x,y)}{{F'_{y}}(x,y)}$，其中，${F’_x}(x,y)$，
  ${F’_y}(x,y)$分别表示$F(x,y)$对$x$和$y$的偏导数
• 3)利用微分形式不变性

8.常用高阶导数公式

常用几个低次公式要熟记于心

（1）$({{a}^{x}}){{\,}^{(n)}}={{a}^{x}}{{\ln }^{n}}a\quad (a>{0})\quad ({{{e}}^{x}}){{\,}^{(n)}}={e}{{\,}^{x}}$
（2）$(\sin kx{)}{{\,}^{(n)}}={{k}^{n}}\sin (kx+n\cdot \frac{\pi }{{2}})$
（3）$(\cos kx{)}{{\,}^{(n)}}={{k}^{n}}\cos (kx+n\cdot \frac{\pi }{{2}})$
（4）$({{x}^{m}}){{\,}^{(n)}}=m(m-1)\cdots (m-n+1){{x}^{m-n}}$
（5）$(\ln x){{\,}^{(n)}}={{(-{1})}^{(n-{1})}}\frac{(n-{1})!}{{{x}^{n}}}$
（6）莱布尼兹公式：
若$u(x),v(x)$均$n$阶可导，则${{(uv)}^{(n)}}=\sum\limits_{i={0}}^{n}{{c}_{n}^{i}{u}^{i}{v^{n-i}}}$，其中${{u}^{({0})}}=u$，${{v}^{({0})}}=v$

9.微分中值定理，泰勒公式

Th1: 费马引理

若函数$f(x)$满足条件：
(1)函数$f(x)$在${{x}_{0}}$的某邻域内有定义，并且在此邻域内恒有
$f(x)\le f({{x}_{0}})$或$f(x)\ge f({{x}_{0}})$
(2) $f(x)$在${{x}_{0}}$处可导
则有 ${f}’({{x}_{0}})=0$

Th2: 罗尔定理

设函数$f(x)$满足条件：
(1)在闭区间$[a,b]$上连续
(2)在$(a,b)$内可导
(3)$f(a)=f(b)$
则在$(a,b)$内一存在个$\xi $，使 ${f}’(\xi )=0$

Th3: 拉格朗日中值定理

设函数$f(x)$满足条件：
(1)在$[a,b]$上连续
(2)在$(a,b)$内可导
则在$(a,b)$内一存在个$\xi $，使 $\frac{f(b)-f(a)}{b-a}={f}’(\xi )$

Th4: 柯西中值定理

设函数$f(x)$，$g(x)$满足条件：
(1) 在$[a,b]$上连续
(2) 在$(a,b)$内可导且${f}’(x)$，${g}’(x)$均存在，且${g}’(x)\ne 0$
则在$(a,b)$内存在一个$\xi $，使${\frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}}={\frac{{f}'(\xi )}{{g}'(\xi )}}$

10.洛必达法则

法则Ⅰ ($\frac{0}{0}$型)

设函数$f\left( x \right),g\left( x \right)$满足条件：

$\underset{x\to {{x}_{0}}}{\mathop{\lim }}\,f\left( x \right)=0,\underset{x\to {{x}_{0}}}{\mathop{\lim }}\,g\left( x \right)=0$
$f\left( x \right),g\left( x \right)$在${{x}_{0}}$的邻域内可导，(在${{x}_{0}}$处可除外)且${g}’\left( x \right)\ne 0$
$\underset{x\to {{x}_{0}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{{f}'\left( x \right)}{{g}'\left( x \right)}$存在(或$\infty $) 则: ${\underset{x\to {{x}_{0}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{f\left( x \right)}{g\left( x \right)}=\underset{x\to {{x}_{0}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{{f}'\left( x \right)}{{g}'\left( x \right)}}$

法则Ⅰ’ ($\frac{0}{0}$型)

设函数$f\left( x \right),g\left( x \right)$满足条件：

$\underset{x\to \infty }{\mathop{\lim }}\,f\left( x \right)=0,\underset{x\to \infty }{\mathop{\lim }}\,g\left( x \right)=0$
存在一个$X>0$,当$\left| x \right|>X$时，$f\left( x \right),g\left( x \right)$可导，且${g}’\left( x \right)\ne 0$
$\underset{x\to {{x}_{0}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{{f}'\left( x \right)}{{g}'\left( x \right)}$存在(或$\infty $) 则:${\underset{x\to {{x}_{0}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{f\left( x \right)}{g\left( x \right)}=\underset{x\to {{x}_{0}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{{f}'\left( x \right)}{{g}'\left( x \right)}}$

法则Ⅱ ($\frac{\infty }{\infty }$型)

设函数$f\left( x \right),g\left( x \right)$满足条件：

$\underset{x\to {{x}_{0}}}{\mathop{\lim }}\,f\left( x \right)=\infty ,\underset{x\to {{x}_{0}}}{\mathop{\lim }}\,g\left( x \right)=\infty $
$f\left( x \right),g\left( x \right)$在${{x}_{0}}$ 的邻域内可导(在${{x}_{0}}$处可除外)且${g}’\left( x \right)\ne 0$
$\underset{x\to {{x}_{0}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{{f}'\left( x \right)}{{g}'\left( x \right)}$存在(或$\infty $) 则: ${\underset{x\to {{x}_{0}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{f\left( x \right)}{g\left( x \right)}}={\underset{x\to {{x}_{0}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{{f}'\left( x \right)}{{g}'\left( x \right)}}$

同理法则Ⅱ’ ($\frac{\infty }{\infty }$型)仿法则Ⅰ’ 可写出

11.泰勒公式

设函数$f(x)$在点${{x}_{0}}$处的某邻域内具有$n+1$阶导数，则对该邻域内异于${{x}_{0}}$的任意点$x$，在${{x}_{0}}$与$x$之间至少存在一个$\xi$，使得:

$f(x)=f({{x}_{0}})+{f}’({{x}_{0}})(x-{{x}_{0}})+\frac{1}{2!}{f}’’({{x}_{0}}){{(x-{{x}_{0}})}^{2}}+\cdots +\frac{{{f}^{(n)}}({{x}_{0}})}{n!}{{(x-{{x}_{0}})}^{n}}+{{R}_{n}}(x)$

其中 ${{R}_{n}}(x)=\frac{{{f}^{(n+1)}}(\xi )}{(n+1)!}{{(x-{{x}_{0}})}^{n+1}}$ 称为 $f(x)$ 在点 ${{x}_{0}}$ 处的 $n$ 阶泰勒余项。

令${{x}_{0}}=0$，则$n$阶泰勒公式 (麦克劳林公式):

$f(x)=f(0)+{f}’(0)x+\frac{1}{2!}{f}’’(0){{x}^{2}}+\cdots +\frac{{{f}^{(n)}}(0)}{n!}{{x}^{n}}+{{R}_{n}}(x)$

其中 ${{R}_{n}}(x)=\frac{{{f}^{(n+1)}}(\xi )}{(n+1)!}{{x}^{n+1}}$，$\xi $在0与$x$之间

常用五种函数在${{x}_{0}}=0$处的泰勒公式

(1) ${{{e}}^{x}}=1+x+\frac{1}{2!}{{x}^{2}}+\cdots +\frac{1}{n!}{{x}^{n}}+o({{x}^{n}})$

(2) $\sin x=x-\frac{1}{3!}{{x}^{3}}+\cdots +\frac{{{x}^{n}}}{n!}\sin \frac{n\pi }{2}+o({{x}^{n}})$

(3) $\cos x=1-\frac{1}{2!}{{x}^{2}}+\cdots +\frac{{{x}^{n}}}{n!}\cos \frac{n\pi }{2}+o({{x}^{n}})$

(4) $\ln (1+x)=x-\frac{1}{2}{{x}^{2}}+\frac{1}{3}{{x}^{3}}-\cdots +{{(-1)}^{n-1}}\frac{{{x}^{n}}}{n}+o({{x}^{n}})$

(5) ${{(1+x)}^{m}}=1+mx+\frac{m(m-1)}{2!}{{x}^{2}}+\cdots $ $+\frac{m(m-1)\cdots (m-n+1)}{n!}{{x}^{n}}+o({{x}^{n}})$

12.函数单调性的判断

Th1: 设函数$f(x)$在$(a,b)$区间内可导，如果对$\forall x\in (a,b)$，都有$f’(x)>0$（或$f’(x)<0$），则函数$f(x)$在$(a,b)$内是单调增加的（或单调减少）

Th2: （取极值的必要条件）设函数$f(x)$在${{x}_{0}}$处可导，且在${{x}_{0}}$处取极值，则$f’({{x}_{0}})=0$。

Th3: （取极值的第一充分条件）设函数$f(x)$在${{x}_{0}}$的某一邻域内可微，且$f’({{x}_{0}})=0$（或$f(x)$在${{x}_{0}}$处连续，但$f’({{x}_{0}})$不存在。）

(1)若当$x$经过${{x}_{0}}$时，$f’(x)$由“+”变“-”，则$f({{x}_{0}})$为极大值
(2)若当$x$经过${{x}_{0}}$时，$f’(x)$由“-”变“+”，则$f({{x}_{0}})$为极小值
(3)若$f’(x)$经过$x={{x}_{0}}$的两侧不变号，则$f({{x}_{0}})$不是极值

Th4: （取极值的第二充分条件）设$f(x)$在点${{x}_{0}}$处有$f’’(x)\ne 0$，且$f’({{x}_{0}})=0$，则：

当$f’’({{x}_{0}})<0$时，$f({{x}_{0}})$为极大值
当$f’’({{x}_{0}})>0$时，$f({{x}_{0}})$为极小值
如果$f’’({{x}_{0}})=0$，失效

13.渐近线的求法

(1)水平渐近线 若$\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,f(x)=b$，或$\underset{x\to -\infty }{\mathop{\lim }}\,f(x)=b$，则

$y=b$称为函数$y=f(x)$的水平渐近线。

(2)铅直渐近线 若$\underset{x\to x_{0}^{-}}{\mathop{\lim }}\,f(x)=\infty $，或$\underset{x\to x_{0}^{+}}{\mathop{\lim }}\,f(x)=\infty $，则

$x={{x}_{0}}$称为$y=f(x)$的铅直渐近线。

(3)斜渐近线 若$a=\underset{x\to \infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{f(x)}{x},\quad b=\underset{x\to \infty }{\mathop{\lim }}\,[f(x)-ax]$，则
$y=ax+b$称为$y=f(x)$的斜渐近线。

14.函数凹凸性的判断

Th1: （凹凸性的判别定理）若在I上$f{‘’}(x)<0$（或$f''(x)>0$），则$f(x)$在I上是凸的（或凹的）（凹凸是相对于正方向而言的）

Th2: （拐点的判别定理1）若在${{x}_{0}}$处$f’’(x)=0$，（或$f’’(x)$不存在），当$x$变动经过${{x}_{0}}$时，$f’’(x)$变号，则$({{x}_{0}},f({{x}_{0}}))$为拐点

Th3: （拐点的判别理2）设$f(x)$在${{x}_{0}}$点的某邻域内有三阶导数，且$f’’(x)=0$，$f’’’(x)\ne 0$，则$({{x}_{0}},f({{x}_{0}}))$为拐点

有空更新线性代数和概率论部分，但公式比较复杂，涉及矩阵和行列式等，Hexo渲染不方便，大概率鸽了
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